Faktöriyel Hesaplama

Ünlem işaretini çarpıma çevirmek

n!, n’den başlayıp 1’e kadar inen pozitif tam sayıların çarpımını gösterir. 6! yazıldığında işlem 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 olur ve sonuç 720 çıkar. Faktöriyel formülü n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1 biçimindedir; aynı bağıntı n! = n × (n-1)! olarak da kurulabilir.

Faktöriyel hesaplama sırasında çarpanlardan biri bile atlanırsa sonuç değişir. Küçük değerlerde çarpımı elle açmak denetimi kolaylaştırır, fakat sayı büyüdükçe basamak sayısı hızla artar. Aşağıdaki değerler bu büyümeyi yan yana gösterir:

Sıfırın sonucu neden 1?

0! için geriye doğru yazılacak bir çarpan yoktur, yine de sonuç 1 kabul edilir. Bunun somut karşılığı şudur: sıfır nesneyi sıralamanın bir yolu vardır, hiçbir nesneyi yerleştirmemek. Bu değer seçimi n! = n × (n-1)! bağıntısının n = 1 durumunda bozulmasını da önler. 1! ise doğrudan 1’dir.

Sonucu soruya göre okumak

Bu sayfa 0 ile 170 arasındaki tam sayıları kabul eder. 50 basamağı aşan sonuçlar ekranda başı ve sonu korunarak kısaltılır; “Sonucu Kopyala” düğmesi ise hesaplanan tam sayının bütün rakamlarını panoya alır. Bilimsel gösterim büyüklüğü karşılaştırmak için daha elverişlidir ve beş anlamlı basamağa yuvarlanır. Örneğin 100! değeri 158 basamaklıdır.

Ondalıklı veya negatif bir değer, bu sayfadaki sonlu tam sayı çarpımı tanımına uymaz. Bu değerlerle bağlantılı genişletme Gamma fonksiyonudur; araç Gamma hesabı yapmaz. Bu sınırlar, ünlem işaretini klasik tam sayı anlamıyla kullanan okul ve kombinatorik sorularıyla uyumludur. İşlem tarayıcıda gerçekleşir ve yazdığınız sayı hesaplama için sunucuya gönderilmez.

Toplama, sıralama ve seçim aynı işlem değildir

Faktöriyel toplama ifadesinde her terim önce ayrı hesaplanır. 1! + 2! + 3! + 4! işlemi 1 + 2 + 6 + 24 üzerinden 33 eder. Buna karşılık (1 + 2 + 3 + 4)! çok daha farklı bir işlemdir; parantez önce 10’u verir, ardından 10! hesaplanır.

n farklı nesnenin tüm sıralamaları n! kadardır. Yalnız r nesne seçilecekse sıra önemli olduğunda P(n,r) = n! / (n-r)!, sıra önemsiz olduğunda C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) kullanılır. On kişiden üç kişilik ekip seçmek 120 seçenek verirken aynı kişiler arasından üç farklı görev dağıtmak 720 düzen oluşturur. Bu ayrım, faktöriyelin olasılık sorularında neden tek başına yeterli olmadığını açıklar.

O(n!) ifadesiyle karşılaşıldığında da iki kavramı ayırmak gerekir. Bu gösterim, bütün olası sıralamaları deneyen bir algoritmanın iş yükünü anlatır. Tek bir n! değerini ardışık çarpımla bulmak ise n kadar adıma yakın bir işlem gerektirir; n! kez çarpma yapılmaz.