Fakultätsrechner
Bestimmen Sie n! für eine ganze Zahl von 0 bis 170 samt Produktdarstellung, Stellenzahl und wissenschaftlicher Notation.
Geben Sie eine ganze Zahl von 0 bis 170 ein. (170! ≈ 7,26 × 10306)
Das Ausrufezeichen als Produkt lesen
Steht hinter einer nichtnegativen ganzen Zahl ein Ausrufezeichen, werden alle positiven ganzen Zahlen bis 1 miteinander multipliziert. Aus 6! wird also 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Allgemein lautet die Fakultätsformel n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1. Für schrittweise Rechnungen ist auch n! = n × (n-1)! nützlich.
Beim Ausschreiben lässt sich ein fehlender Faktor leicht erkennen. Das funktioniert bei kleinen Zahlen gut, wird aber schnell unübersichtlich: 10! hat bereits den Wert 3.628.800, 20! besteht aus 19 Stellen und 100! aus 158 Stellen. Der Zuwachs ist daher ein wesentlicher Teil vieler kombinatorischer Aufgaben, nicht nur eine Besonderheit der Schreibweise.
Die beiden Startwerte sind 1! = 1 und 0! = 1. Für null gibt es kein gewöhnliches Produkt, doch null Objekte besitzen genau eine mögliche Anordnung, nämlich die leere. Mit diesem Wert bleibt außerdem die rekursive Formel beim Übergang von 1! zu 0! gültig. Auch die Formeln für Kombinationen benötigen dann keine zusätzliche Ausnahme.
Vom angezeigten Wert zur eigentlichen Aufgabe
Der Rechner verarbeitet ganze Zahlen von 0 bis 170. Bis 20 wird das Produkt vollständig ausgeschrieben. Hat das Ergebnis mehr als 50 Stellen, zeigt die große Ergebniszeile einen gekürzten Ausschnitt; die Schaltfläche zum Kopieren übernimmt trotzdem sämtliche Ziffern des exakten BigInt-Werts. Die wissenschaftliche Notation ist auf fünf signifikante Stellen gerundet und eignet sich vor allem für Größenvergleiche.
Dezimalzahlen und negative Zahlen gehören nicht zur hier verwendeten endlichen Produktdefinition. Eine entsprechende Erweiterung führt zur Gammafunktion, die dieses Werkzeug nicht berechnet. Die Eingabe wird direkt im Browser ausgewertet und für die Rechnung nicht an den Server übertragen.
Auch bei einer Summe entscheidet die Klammerung. 1! + 2! + 3! + 4! bedeutet 1 + 2 + 6 + 24 und ergibt 33. Dagegen wird bei (1 + 2 + 3 + 4)! zunächst 10 gebildet und anschließend 10! berechnet. Im Allgemeinen darf (a+b)! deshalb nicht durch a!+b! ersetzt werden.
Auswahl und Reihenfolge auseinanderhalten
n verschiedene Gegenstände lassen sich auf n! Arten vollständig anordnen. Werden nur r Gegenstände verwendet, hängt die passende Formel von der Reihenfolge ab. Für eine geordnete Auswahl gilt P(n,r) = n! / (n-r)!, für eine ungeordnete Auswahl C(n,r) = n! / (r!(n-r)!). Drei Personen aus einer Zehnergruppe ergeben 120 mögliche Teams. Werden aus derselben Gruppe Gold, Silber und Bronze vergeben, entstehen 720 geordnete Resultate.
Fakultäten erklären auch, warum vollständiges Durchprobieren rasch teuer wird. 2¹⁰ beträgt 1.024, während 10! schon 3.628.800 erreicht. Die Laufzeitangabe O(n!) meint, dass ein Verfahren alle möglichen Reihenfolgen untersucht. Einen einzelnen Fakultätswert von 2 bis n auszumultiplizieren, benötigt dagegen ungefähr n Multiplikationsschritte und nicht n! Schritte.
Häufig gestellte Fragen zum Fakultätsrechner
Für eine nichtnegative ganze Zahl n ist sie das Produkt der positiven Zahlen von n bis 1 und wird n! geschrieben. Beispiel: 5! = 120.
Null Objekte lassen sich auf genau eine Weise anordnen: als leere Anordnung. Der Wert 0! = 1 hält zugleich n! = n × (n-1)! und die üblichen Kombinationsformeln konsistent.
Berechnen Sie jeden Term vor dem Addieren. Daher ist 1! + 2! + 3! + 4! = 33. Allgemein ist (a+b)! nicht gleich a!+b!.
Nein. Berechnet wird n! nur für ganze Zahlen von 0 bis 170. Für Erweiterungen auf Dezimalzahlen oder negative Werte wäre die Gammafunktion nötig; sie gehört nicht zum Funktionsumfang.
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