Fakultätsrechner

Dieser kostenlose Fakultätsrechner berechnet n! für jede ganze Zahl von 0 bis 170 — sofort und mit exakter Präzision. Geben Sie eine Zahl ein oder tippen Sie auf eine der Schnelltasten (5!, 10!, 20!, 50!, 100!), und Sie erhalten den vollständigen Wert, seine Stellenanzahl, die wissenschaftliche Notation und eine Schritt-für-Schritt-Erweiterung. Unten erklären wir, was eine Fakultät ist, die Fakultätsformel und wofür Fakultäten verwendet werden.

Was ist eine Fakultät?

Eine Fakultät ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n, geschrieben als n! und gelesen als „n Fakultät". Zum Beispiel ist 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per Definition gilt 0! = 1. Dieser Wert ist die Grundlage von Kombinationen, Permutationen und Wahrscheinlichkeitsrechnungen und taucht daher in der gesamten Mathematik, Statistik und Informatik auf.

Diese Werte wachsen extrem schnell — schneller als jede Exponentialfunktion. 10! = 3.628.800; 20! ≈ 2,43 × 10¹⁸; und 100! hat bereits 158 Stellen. Da gewöhnliche Zahlentypen schon weit vor diesem Punkt an Präzision verlieren, nutzt dieses Tool JavaScript BigInt, um jede Stelle exakt zu berechnen — bis hinauf zu 170!.

Die Fakultätsformel

Die Fakultätsformel lässt sich auf zwei gleichwertige Arten schreiben, und dieser Rechner folgt beiden — er durchläuft das Produkt und zeigt jeden einzelnen Schritt:

• Iterativ: n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
• Rekursiv: n! = n × (n−1)! (Basisfall: 0! = 1)

Die rekursive Form ist der Grund, warum 0! gleich 1 sein muss: Setzt man 1! = 1 × 0!, so ergibt sich zwingend 0! = 1, was alle späteren Formeln (wie Kombinationen und Permutationen) konsistent hält.

Fakultätstabelle (0! – 15!)

Praktische Anwendungen von n!

• Kombinationen C(n,r): Auf wie viele Arten lassen sich r Elemente aus n auswählen? C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!). Beispiel: 5 Karten aus einem 52-Karten-Deck wählen → C(52,5) = 2.598.960.
• Permutationen P(n,r): Wie viele geordnete Anordnungen von r Elementen aus n gibt es? P(n,r) = n! / (n−r)!. Beispiel: Gold, Silber, Bronze aus 8 Athleten → P(8,3) = 336.
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Binomial-, Poisson- und hypergeometrische Verteilungen verwenden alle n!.
• Kryptografie: RSA und andere Algorithmen verlassen sich auf die enorme Größe dieser Produkte, um Sicherheit zu gewährleisten.
• Algorithmische Komplexität: O(n!)-Algorithmen (z. B. das Brute-Force-Problem des Handlungsreisenden) sind schon bei moderatem n unpraktikabel — das zeigt, warum dieses rasante Wachstum so bedeutsam ist.

Sonderfälle und Hinweise

• 0! = 1 per Definition — die leere Menge hat genau eine Anordnung.
• Endnullen in n!: Ihre Anzahl beträgt ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + … Beispiel: 100! endet auf 24 Nullen.
• Stirling-Näherung für sehr große n: n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ.
• Überlauf: Gewöhnliche 64-Bit-Ganzzahlen laufen bei 21! über. Dieses Tool nutzt BigInt für exakte Ergebnisse bis 170!.

Was ist die Summe von Fakultäten?

Die Summe von Fakultäten addiert aufeinanderfolgende Werte: 1! + 2! + 3! + … + n!. Sie taucht in der Zahlentheorie und in manchen Reihenproblemen auf. Zum Beispiel ist 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33. Die Zahlen steigen so schnell, dass der letzte Term fast immer die Summe dominiert — bei 1! + … + 10! beträgt das Ergebnis 4.037.913, und allein der Term 10! (3.628.800) macht etwa 90 % davon aus. Um eine solche Summe zu berechnen, ermitteln Sie jede einzelne n! mit dem Rechner oben und addieren die Ergebnisse.

n! Schritt für Schritt berechnen

Den Wert von Hand zu berechnen ist unkompliziert; dieses Tool automatisiert und überprüft die Schritte lediglich:

1. Beginnen Sie bei der Zahl n, deren Fakultät Sie suchen (zum Beispiel 6).
2. Multiplizieren Sie nacheinander mit jeder kleineren ganzen Zahl: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
3. Hören Sie bei 1 auf — und denken Sie daran, dass 0! und 1! beide gleich 1 sind.
4. Lesen Sie das Ergebnis ab: 6! = 720. Der Rechner zeigt für sehr große Ergebnisse zusätzlich die Stellenanzahl und die wissenschaftliche Notation.

Bei großen Eingaben wird das Rechnen von Hand schnell unpraktikabel — genau hier hilft ein Rechner mit exakter Präzision. Geben Sie oben eine beliebige Zahl von 0 bis 170 ein, um die vollständige Erweiterung und das Ergebnis zu sehen.

n! in Kombinationen und Permutationen

Der häufigste praktische Grund, diesen Wert zu berechnen, ist das Zählen von Anordnungen und Auswahlen. Beide zentralen Abzählformeln bauen auf n! auf:

• Permutationen zählen geordnete Anordnungen: P(n, r) = n! ÷ (n − r)!. Die Reihenfolge zählt, daher sind erster, zweiter und dritter Platz jeweils unterschiedliche Ergebnisse.
• Kombinationen zählen ungeordnete Auswahlen: C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!). Hier zählt nur die Gruppe, nicht die Reihenfolge innerhalb.

Beispielsweise ist die Wahl eines 3-köpfigen Ausschusses aus 10 Personen eine Kombination: C(10, 3) = 120. Die Top 3 dieser 10 zu platzieren ist hingegen eine Permutation: P(10, 3) = 720 — sechsmal so viel, weil jede Dreiergruppe auf 3! = 6 Arten geordnet werden kann. Diesen Unterschied zu verstehen ist der Kern von Wahrscheinlichkeit und Statistik, und genau deshalb ist ein zuverlässiger n!-Rechner ein so nützlicher Ausgangspunkt.

Wie schnell wächst n!?

Das Wachstum von n! übertrifft sogar das exponentielle Wachstum, weshalb es in Diskussionen über die Schwierigkeit von Berechnungen auftaucht. Vergleichen Sie die Verdopplung (2ⁿ) mit der Fakultät desselben n: Bei n = 5 ist 2⁵ = 32, während 5! = 120; bei n = 10 ist 2¹⁰ = 1.024, während 10! = 3.628.800. Bei n = 20 ist die Fakultät bereits astronomisch größer. Dieses explosive Wachstum ist der Grund, warum „Brute-Force"-Algorithmen, die jede Reihenfolge durchprobieren — etwa das Prüfen jeder möglichen Route beim Problem des Handlungsreisenden — schon bei mäßig großen Eingaben unmöglich werden. Es ist auch der Grund, warum große Fakultäten exakte BigInt-Arithmetik statt gewöhnlicher Gleitkommazahlen benötigen.