Wurzelrechner
Berechnen Sie Quadratwurzel, Kubikwurzel oder einen Grad von 2 bis 100 und vergleichen Sie Dezimalwert, Ganzzahlstatus und Potenzprobe im selben Ergebnis.
Negative Zahlen sind nur bei Wurzeln ungeraden Grades gültig (Kubikwurzel, 5. Wurzel …).
Schnellbeispiel
Ein Würfel mit 64 cm³ Volumen hat eine Kantenlänge von ∛64 = 4 cm. Für diese Aufgabe wählen Sie die Kubikwurzel; bei der Seitenlänge eines Quadrats aus seiner Fläche brauchen Sie die Quadratwurzel. Unter „Andere“ sind ganze Grade von 2 bis 100 möglich.
Der Grad entscheidet zuerst über den Definitionsbereich
√36 bezeichnet die nichtnegative Hauptwurzel, also 6. Die Gleichung x² = 36 hat dagegen zwei Lösungen: 6 und -6. Bei der Kubikwurzel wird die dritte Potenz umgekehrt, etwa ∛64 = 4. Für einen beliebigen Grad gilt ⁿ√x = x1/n.
Bei negativen Eingaben ist die Parität entscheidend. Gerade Grade besitzen in den reellen Zahlen kein Ergebnis, ungerade Grade schon. Deshalb liefert ∛(-125) den Wert -5, während √(-25) eine Meldung auslöst. Beim Wechsel zwischen den Reitern bleibt die bereits eingetragene Zahl erhalten.
Ganzzahl, Wurzelausdruck oder Näherung?
√81 ist genau 9 und damit rational. √2 lässt sich dagegen nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben; seine Dezimalfolge endet nicht und wiederholt sich nicht periodisch. Für eine algebraische Lösung bleibt √2 die exakte Schreibweise. Ein Wert wie 1,4142 ist nur eine für den jeweiligen Zweck gerundete Näherung.
Eine einfache Plausibilitätskontrolle beginnt mit bekannten Quadraten. Aus 49 < 50 < 64 folgt sofort, dass √50 zwischen 7 und 8 liegen muss. Das angezeigte Ergebnis 7,0710678119 passt in dieses Intervall. Bei Kubikwurzeln funktioniert dieselbe Kontrolle mit benachbarten Kubikzahlen.
Mehrere Wurzeln folgen eigenen Rechenregeln
Das Eingabefeld berechnet jeweils eine einzelne Wurzel. In einem Term mit mehreren Radikanden helfen drei getrennte Regeln:
- Für a ≥ 0 und b ≥ 0 gilt beim Multiplizieren √a × √b = √(ab). So wird √3 × √12 zu √36 und damit zu 6.
- Beim Dividieren gilt √a / √b = √(a/b), für a ≥ 0 und b > 0. √18 / √2 ergibt √9 = 3.
- Beim Addieren dürfen nur gleichartige Wurzeln zusammengefasst werden. Die Radikanden selbst werden nicht addiert.
Erst vereinfachen, dann zusammenfassen
In √8 + √2 wird der erste Term zunächst als 2√2 geschrieben. Danach ergibt sich 3√2. Bei √2 + √3 sind die Radikanden verschieden, daher bleibt die Summe unverändert. Wurzeln mit unterschiedlichen Graden lassen sich oft übersichtlicher als gebrochene Exponenten behandeln.
Eingabe und Genauigkeit
Im deutschen Zahlenformat bedeutet 1.234 die ganze Zahl 1234, während 1,234 eine Dezimalzahl ist. Bei wissenschaftlicher Schreibweise stehen 1.234e3 und 1,234e3 beide für 1234. Ungültige oder geänderte Eingaben verbergen das vorherige Ergebnis.
Die Dezimalrechnung verwendet die Genauigkeit des JavaScript-Typs Number und zeigt höchstens zehn Nachkommastellen. Ob die Wurzel ganzzahlig ist, wird davon getrennt am ursprünglichen Eingabetext mit BigInt geprüft. „Nein“ bedeutet nicht automatisch irrational: √0,25 = 0,5 ist rational, aber nicht ganzzahlig. Sehr kleine und große Zahlen erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise.
Die Potenzprobe stellt den Zusammenhang zwischen Wurzel und Eingabe dar; sie ist keine unabhängige zweite Rechnung. Das Zeichen = erscheint nur bei einer exakten ganzzahligen Wurzel, wenn beide angezeigten Werte vollständig erhalten bleiben. Sonst steht ≈, auch bei einer gerundet dargestellten großen Ganzzahl.
Quellen & Aktualität
Häufig gestellte Fragen zum Wurzelrechner
Unter „Andere“ sind ganze Grade von 2 bis 100 zulässig. Dezimale oder negative Grade werden abgewiesen. Quadratwurzel und Kubikwurzel stehen zusätzlich als direkte Auswahl bereit.
Eine ungerade Potenz kann ein negatives Ergebnis haben, daher gilt ∛(-27) = -3. Eine gerade Potenz ist bei reellen Zahlen nie negativ; deshalb ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl dort nicht definiert.
Nein. Der exakte Wert bleibt √2. Seine Dezimaldarstellung endet nicht und wird für die Anzeige gerundet; 1,4142135624 ist deshalb eine Näherung.
Die Zeile zeigt den Zusammenhang mit der Eingabe, keine unabhängige Rückrechnung. ≈ weist auf eine Näherung hin. Auch eine ganzzahlige Wurzel kann so markiert sein, wenn ihre wissenschaftliche Anzeige gerundet wurde.
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