Wurzelrechner
Berechnen Sie Quadratwurzel, Kubikwurzel oder einen Grad von 2 bis 100 und vergleichen Sie Dezimalwert, Ganzzahlstatus und Potenzprobe im selben Ergebnis.
Negative Zahlen sind nur bei Wurzeln ungeraden Grades gültig (Kubikwurzel, 5. Wurzel …).
Schnellbeispiel
Im Wurzelrechner wählen Sie zuerst Quadratwurzel, Kubikwurzel oder einen eigenen Grad. Nach der Eingabe erscheinen Zahlenwert, Ganzzahlstatus und Potenzprobe. Der Reiter „Andere“ nimmt ganze Wurzelgrade von 2 bis 100 an.
Der Grad entscheidet zuerst über den Definitionsbereich
Die Quadratwurzel macht das Quadrieren rückgängig: √36 = 6, weil 6² = 36. Bei der Kubikwurzel wird die dritte Potenz umgekehrt, etwa ∛64 = 4. Für einen beliebigen Grad gilt ⁿ√x = x1/n.
Bei negativen Eingaben ist die Parität entscheidend. Gerade Grade besitzen in den reellen Zahlen kein Ergebnis, ungerade Grade schon. Deshalb liefert ∛(-125) den Wert -5, während √(-25) eine Meldung auslöst. Beim Wechsel zwischen den Reitern bleibt die bereits eingetragene Zahl erhalten.
Ganzzahl, Wurzelausdruck oder Näherung?
√81 ist genau 9 und damit rational. √2 lässt sich dagegen nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben; seine Dezimalfolge endet nicht und wiederholt sich nicht periodisch. Für eine algebraische Lösung bleibt √2 die exakte Schreibweise. Ein Wert wie 1,4142 ist nur eine für den jeweiligen Zweck gerundete Näherung.
Zwischen zwei Quadratzahlen abschätzen
Eine einfache Plausibilitätskontrolle beginnt mit bekannten Quadraten. Aus 49 < 50 < 64 folgt sofort, dass √50 zwischen 7 und 8 liegen muss. Das angezeigte Ergebnis 7,0710678119 passt in dieses Intervall. Bei Kubikwurzeln funktioniert dieselbe Kontrolle mit benachbarten Kubikzahlen.
Mehrere Wurzeln folgen eigenen Rechenregeln
Das Eingabefeld berechnet jeweils eine einzelne Wurzel. In einem Term mit mehreren Radikanden helfen drei getrennte Regeln:
- Beim Multiplizieren gleicher Grade gilt √a × √b = √(ab). So wird √3 × √12 zu √36 und damit zu 6.
- Beim Dividieren gilt √a / √b = √(a/b), sofern b nicht null ist. √18 / √2 ergibt √9 = 3.
- Beim Addieren dürfen nur gleichartige Wurzeln zusammengefasst werden. Die Radikanden selbst werden nicht addiert.
Erst vereinfachen, dann zusammenfassen
In √8 + √2 wird der erste Term zunächst als 2√2 geschrieben. Danach ergibt sich 3√2. Bei √2 + √3 sind die Radikanden verschieden, daher bleibt die Summe unverändert. Wurzeln mit unterschiedlichen Graden lassen sich oft übersichtlicher als gebrochene Exponenten behandeln.
Eingabe und Potenzprobe richtig lesen
Deutsche Formate wie 1.234,5 werden ebenso erkannt wie eine eindeutige Eingabe mit Dezimalpunkt. Buchstaben, unvollständige Trennzeichen und nicht endliche Werte werden abgewiesen; ein früheres Ergebnis verschwindet, sobald sich die Eingabe ändert.
Bei einer ganzzahligen Wurzel steht in der Probe ein Gleichheitszeichen. Irrationale Werte werden für die Anzeige gerundet, deshalb verwendet die Rückrechnung das Zeichen ≈. Sehr kleine und sehr große Zahlen erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise, damit relevante Stellen erhalten bleiben. Die übrige Anzeige verwendet das deutsche Dezimalkomma.
Häufig gestellte Fragen zum Wurzelrechner
Unter „Andere“ sind ganze Grade von 2 bis 100 zulässig. Dezimale oder negative Grade werden abgewiesen. Quadratwurzel und Kubikwurzel stehen zusätzlich als direkte Auswahl bereit.
Eine ungerade Potenz kann ein negatives Ergebnis haben, daher gilt ∛(-27) = -3. Eine gerade Potenz ist bei reellen Zahlen nie negativ; deshalb ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl dort nicht definiert.
Nein. Der exakte Wert bleibt √2. Seine Dezimaldarstellung endet nicht und wird für die Anzeige gerundet; 1,4142135624 ist deshalb eine Näherung.
Es kennzeichnet eine Rückrechnung mit einem gerundeten Wurzelwert. Dieser ergibt beim Potenzieren eine Zahl sehr nahe an der Eingabe. Bei einer ganzzahligen Wurzel kann die Probe dagegen mit = geschrieben werden.
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