Primfaktorzerlegung-Rechner
Zerlegen Sie jede Zahl in ihre Primfaktoren mit Schritt-für-Schritt-Divisionstabelle, Exponentenform, allen Teilern und einem Primzahltest.
Geben Sie eine ganze Zahl von 2 bis 999.999.999 ein.
Schnellbeispiel
Bei 840 verraten die Exponenten mehr als eine Faktorenliste
Die schrittweise Division von 840 beginnt dreimal mit 2, danach folgen 3, 5 und 7. Damit gilt 840 = 2³ × 3 × 5 × 7. In der Ergebniskarte steht bei den verschiedenen Primfaktoren die Zahl 4, denn die drei Vorkommen von 2 werden dort nur einmal gezählt.
Ein Primfaktor ist eine Primzahl, die den Ausgangswert ohne Rest teilt. Die Primfaktorzerlegung schreibt eine ganze Zahl als Produkt solcher Faktoren. Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist diese Darstellung für jede ganze Zahl größer als 1 eindeutig, wenn die Reihenfolge außer Betracht bleibt. Eine andere Reihenfolge der Divisionen führt deshalb nicht zu einem anderen Endergebnis.
Aus den Exponenten lässt sich zugleich die Zahl der positiven Teiler ablesen. Für 840 werden die um 1 erhöhten Exponenten multipliziert: (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 32. Die roten Marken im Ergebnis kennzeichnen die Primfaktoren selbst. Alle übrigen Marken entstehen, indem diese Faktoren mit zulässigen Exponenten kombiniert werden; 1 und 840 gehören ebenfalls zur Liste.
Die Divisionszeilen dienen als Rechenprotokoll. Jede Zeile nennt den aktuellen Wert, den verwendeten Primteiler und den neuen Quotienten. Der letzte Quotient ist 1. Für eine Kontrolle kann man die ausgegebene Potenzdarstellung wieder ausmultiplizieren und mit der Eingabe vergleichen.
Für den Primzahltest reicht die Wurzelgrenze
Eine Primzahl ist größer als 1 und besitzt genau zwei positive Teiler. Die 2 ist die kleinste Primzahl und zugleich die einzige gerade. Eine größte Primzahl gibt es nicht; die größte bekannte Primzahl bezeichnet lediglich einen Rechenrekord, der durch einen neuen Fund abgelöst werden kann.
Ist eine Zahl zusammengesetzt, dann liegt in mindestens einem Faktorenpaar ein Faktor höchstens bei ihrer Quadratwurzel. Bei 997 müssen daher nur mögliche Primteiler bis ungefähr 31,6 geprüft werden. Keiner teilt den Wert, also bleibt 997 als einzelner Faktor stehen. Eine Primzahltabelle bis 100 hilft bei kleinen Kandidaten, kann für größere Zahlen aber nicht allein entscheiden: 101 fehlt in einer solchen Tabelle und ist trotzdem prim.
Teilerfremd ist eine Aussage über zwei Zahlen
Die Zahlen 14 und 25 sind nicht prim, teilen aber keinen Primfaktor und haben den ggT 1. Damit sind sie teilerfremd. Bei 12 und 18 findet man dagegen die gemeinsamen Faktoren 2 und 3; ihr ggT ist 6. Ob eine einzelne Zahl prim ist, beantwortet also eine andere Frage als die Teilerfremdheit eines Zahlenpaars.
Dieses Eingabefeld zerlegt jeweils einen Wert. Zwei Ausgaben lassen sich von Hand auf gemeinsame Primfaktoren vergleichen. Für die direkte Prüfung eines Paars ist der ggT- und kgV-Rechner kürzer: Ein ggT von 1 bestätigt die Teilerfremdheit.
Zulässig sind ganze Zahlen von 2 bis 999.999.999. Buchstaben, Dezimalzahlen und Werte außerhalb dieses Bereichs werden nicht verarbeitet. Beim Ändern der Eingabe verschwindet das alte Ergebnis, damit eine frühere Zerlegung nicht versehentlich der neuen Zahl zugeordnet wird. Die Kopierfunktion übernimmt die kompakte Potenzform, die Anzahl der verschiedenen Faktoren und das Ergebnis des Primzahltests.
Häufig gestellte Fragen zum Primfaktorzerlegung-Rechner
Primzahlen sind ganze Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Die kleinste ist 2. Eine größte Primzahl gibt es nicht, da unendlich viele existieren.
Primfaktoren teilen eine ganze Zahl ohne Rest. Teilen Sie wiederholt durch Primzahlen, beginnend mit 2, und schreiben Sie Wiederholungen als Potenzen. Beispiel: 72 = 2³ × 3².
Teilerfremde Zahlen haben ggT 1 und müssen selbst nicht prim sein. Berechnen Sie den ggT oder vergleichen Sie die Primfaktoren. Ohne gemeinsamen Primfaktor sind sie teilerfremd.
Eine Primzahl benötigt genau zwei verschiedene positive Teiler. Die Zahl 1 besitzt nur einen Teiler und ist daher nicht prim. Die Tabelle bis 100 beginnt mit 2 und endet mit 97.
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