ggT- & kgV-Rechner
Geben Sie zwei bis sechs positive ganze Zahlen ein und sehen Sie ggT, kgV, euklidische Schritte, Primfaktoren sowie den gekürzten Bruch eines Zahlenpaars.
Teilen und Wiederholen führen zu verschiedenen Ergebnissen
Zwei Leisten mit 84 und 126 Zentimetern Länge sollen ohne Rest in möglichst lange, gleich große Stücke geschnitten werden. Die gesuchte Stücklänge beträgt 42 Zentimeter und ist der ggT. Fahren zwei Buslinien dagegen alle 6 beziehungsweise 8 Minuten ab, treffen ihre Abfahrten nach 24 Minuten wieder zusammen. Hier liefert das kgV die passende Antwort.
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte positive ganze Zahl, die jede Eingabe ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches aller Eingaben ist. Bei 12 und 18 erhält man ggT 6 und kgV 36. Vor der Rechnung sollte deshalb klar sein, ob eine vorhandene Menge aufgeteilt oder ein gemeinsamer Zeitpunkt beziehungsweise Gesamtwert gesucht wird.
Der euklidische Weg arbeitet mit Resten
Für den ggT sind keine vollständigen Teilerlisten nötig. Bei 252 und 105 beginnt die Rechnung mit 252 = 2 × 105 + 42. Danach folgen 105 = 2 × 42 + 21 und 42 = 2 × 21. Der letzte Rest ungleich null ist 21. Im Ergebnisbereich werden diese Schritte für die ersten beiden Zahlen in derselben Reihenfolge aufgeführt.
Eine Primfaktorzerlegung eignet sich zur Gegenprobe. Aus 72 = 2³ × 3² und 120 = 2³ × 3 × 5 werden für den ggT die gemeinsamen Faktoren mit den kleineren Exponenten übernommen; 2³ × 3 ergibt 24. Für das kgV zählen alle vorkommenden Primfaktoren mit ihrem jeweils größten Exponenten. So entstehen aus einer Zerlegung zwei klar getrennte Werte.
Mehrere Zahlen ändern den Ablauf, nicht die Grundidee
Bei drei oder mehr Eingaben wird paarweise weitergerechnet. Für 24, 36 und 60 gilt zunächst ggT(24,36) = 12 und anschließend ggT(12,60) = 12. Das kgV wird ebenso schrittweise gebildet. Bei zwei Zahlen kann es zusätzlich über kgV(a,b) = a / ggT(a,b) × b berechnet werden; 12 / 6 × 18 ergibt 36.
Nur für ein Paar positiver Zahlen gilt ggT(a,b) × kgV(a,b) = a × b. Diese Kontrolle darf nicht unverändert auf drei oder mehr Werte übertragen werden. Teilt eine Zahl die andere bereits vollständig, ist die kleinere der ggT und die größere das kgV. Für 8 und 24 lauten die Ergebnisse daher 8 und 24.
Bei Brüchen und Textaufgaben entscheidet das Ziel
Zum Kürzen eines Bruchs werden Zähler und Nenner durch ihren ggT geteilt. Bei 84/126 ist das 42, sodass 2/3 übrig bleibt. Sind beide Werte teilerfremd, lautet der ggT 1 und der Bruch bleibt unverändert. Für einen gemeinsamen Nenner wird dagegen häufig das kgV benötigt; die Nenner 6 und 8 treffen sich zuerst bei 24.
Formulierungen wie „größtmögliche gleiche Gruppen“ weisen meist auf einen Teiler hin. „Zum ersten Mal gemeinsam“ oder „kleinste gemeinsame Gesamtmenge“ beschreibt eher ein Vielfaches. Entscheidend bleibt die mathematische Beziehung hinter dem Satz. Der Rechner nimmt zwei bis sechs positive ganze Zahlen von 1 bis 999.999.999 an. Null, negative Zahlen, Dezimalwerte und zusätzliche Zeichen werden abgelehnt; angezeigt werden ggT, kgV, euklidische Schritte, Primfaktoren und bei einem Zahlenpaar der gekürzte Bruch.
Häufig gestellte Fragen zum ggT- & kgV-Rechner
Der ggT ist die größte positive ganze Zahl, die alle Eingaben teilt. Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die durch alle Eingaben teilbar ist. Für 12 und 18 gelten 6 und 36.
Verwenden Sie den euklidischen Algorithmus: Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere und arbeiten Sie mit den Resten weiter. Der letzte von null verschiedene Divisor ist der ggT.
Für zwei positive Zahlen gilt kgV(a,b) = a / ggT(a,b) × b. Bei Primfaktoren werden alle vorkommenden Faktoren mit ihrem jeweils größten Exponenten multipliziert.
Größte gleich große Gruppen deuten meist auf den ggT. Erstes gemeinsames Auftreten oder kleinste gemeinsame Gesamtmenge deutet meist auf das kgV.
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