Kombinations- & Permutationsrechner
Berechnen Sie Kombinationen C(n,r) und Permutationen P(n,r) mit voller BigInt-Präzision und Schritt-für-Schritt-Formelanzeige.
r ≤ n erforderlich. Beide ganze Zahlen zwischen 0 und 170.
Schnellbeispiel
Dieser Kombinationsrechner und Permutationsrechner ermittelt C(n,r) und P(n,r) – auch nCr und nPr geschrieben – mit voller BigInt-Präzision und einer vollständigen Schritt-für-Schritt-Formelanzeige. Als kombinierter Permutations- und Kombinationsrechner zeigt er beide Ergebnisse nebeneinander, sodass Sie sofort vergleichen können, auf wie viele Arten man r aus n Elementen mit und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt. Unten finden Sie die Kombinationsformel, die Permutationsformel und durchgerechnete Beispiele für Lotto, Poker und Komitee-Probleme.
Was ist eine Kombination?
Eine Kombination ist die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus n ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen, geschrieben C(n,r) oder nCr. Was bedeutet Kombination in der Praxis? Bei einer Kombination zählen {A, B, C} und {C, A, B} als dieselbe Auswahl – nur welche Elemente gewählt werden, ist wichtig, nicht die Reihenfolge. Genau das meinen die meisten Menschen, wenn sie fragen, was eine Kombination ist.
Eine 3-Personen-Gruppe aus 10 Freunden zu bilden ergibt zum Beispiel C(10,3) = 120 Möglichkeiten. Bei einer Permutation, bei der die Reihenfolge zählt, lassen sich dieselben 3 Personen in P(10,3) = 720 verschiedenen Reihenfolgen anordnen.
Was ist eine Permutation?
Eine Permutation ist die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus n anzuordnen, wenn die Reihenfolge zählt, geschrieben P(n,r) oder nPr. Die Antwort auf was eine Permutation ist lautet also: Jede unterschiedliche Reihenfolge zählt als eigenes Ergebnis. 3 Buchstaben aus {A, B, C} anzuordnen ergibt ABC, ACB, BAC, BCA, CAB und CBA – sechs verschiedene Permutationen. Da jede ungeordnete Kombination auf r! Arten umgeordnet werden kann, gibt es immer mehr Permutationen als Kombinationen: P(n,r) = C(n,r) × r!.
Die Kombinationsformel und die Permutationsformel
Die beiden Kernformeln, die dieser nCr-nPr-Rechner verwendet, sind:
- Kombinationsformel: C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!) – Reihenfolge spielt keine Rolle
- Permutationsformel: P(n,r) = n! / (n−r)! – Reihenfolge zählt
- Beziehung: P(n,r) = C(n,r) × r!
In jeder Formel ist n die Gesamtzahl der Elemente, r die Anzahl der ausgewählten und das Ausrufezeichen (!) bedeutet Fakultät – das Produkt aller ganzen Zahlen bis hinab zu 1.
So berechnet man Kombinationen
Um zu lernen, wie man Kombinationen von Hand berechnet, folgen Sie diesen vier Schritten:
- Berechnen Sie n! (n Fakultät).
- Berechnen Sie r!.
- Berechnen Sie (n−r)!.
- Wenden Sie die Kombinationsformel C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!) an.
Beispiel: C(5,2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10. Als nCr-Rechner berechnet dieses Werkzeug alle Schritte mit BigInt-Arithmetik, sodass selbst sehr große Werte wie C(170,85) – eine 50-stellige Zahl – ohne Rundungsfehler exakt bleiben.
Kombination vs. Permutation
| Merkmal | Kombination C(n,r) | Permutation P(n,r) |
|---|---|---|
| Reihenfolge | Spielt keine Rolle | Zählt |
| Formel | n! / (r!(n−r)!) | n! / (n−r)! |
| Beispielanwendung | Lotto, Komitee, Kartenblatt | Rennplatzierung, Passwörter, Sitzordnung |
| C(5,2) vs. P(5,2) | 10 | 20 |
Beispiele aus der Praxis
Der einfachste Weg zu entscheiden, welche Formel zu verwenden ist, ist eine Frage: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wenn nicht, zählen Sie Auswahlen; wenn doch, zählen Sie Anordnungen. Diese Alltagsbeispiele zeigen beides:
- Lotto: 6 Zahlen aus 49 wählen → C(49,6) = 13.983.816 mögliche Tippscheine (Reihenfolge irrelevant).
- Poker: Ein 5-Karten-Blatt aus 52 Karten → C(52,5) = 2.598.960 mögliche Blätter.
- Komitees: 3 Personen aus 10 für ein Komitee auswählen → C(10,3) = 120 Möglichkeiten.
- Siegerpodest: Gold, Silber und Bronze aus 8 Läufern (Reihenfolge zählt) → P(8,3) = 336 Anordnungen.
- Passwörter & PINs: 4 verschiedene Ziffern aus 10 anordnen → P(10,4) = 5.040 mögliche Codes.
Kombinationen mit Wiederholung
Dieses Werkzeug berechnet Standardkombinationen ohne Wiederholung. Für Kombinationen mit Wiederholung lautet die Formel C_R(n,r) = C(n+r−1, r). Um sie hier zu berechnen, geben Sie n+r−1 als neues n ein und behalten Sie r bei.
Ob Sie ein Permutations- und Kombinationsproblem für die Schule durcharbeiten, Lotto-Chancen schätzen oder mögliche Passwörter zählen – geben Sie Ihr n und r oben ein, um beide Ergebnisse auf einmal zu erhalten. Weitere durchgerechnete Beispiele und häufige Fragen finden Sie unten.
Häufig gestellte Fragen zum Kombinations- & Permutationsrechner
Eine Kombination ist die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus n ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Geschrieben C(n,r) oder nCr. {A,B,C} und {C,A,B} zählen als dieselbe Auswahl. Eine 3-Personen-Gruppe aus 10 Freunden zu bilden ergibt C(10,3) = 120 Möglichkeiten.
C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!), wobei n die Gesamtzahl der Elemente, r die Anzahl der ausgewählten und ! die Fakultät ist. Die Permutationsformel P(n,r) = n! / (n−r)! steht damit über P(n,r) = C(n,r) × r! in Beziehung.
Schritte: 1) n! berechnen, 2) r! berechnen, 3) (n−r)! berechnen, 4) C(n,r) = n!/(r!(n−r)!) anwenden. Beispiel: C(5,2) = 120/(2×6) = 10. Dieses Werkzeug berechnet alle Schritte automatisch.
Bei einer Kombination spielt die Reihenfolge keine Rolle: {A,B,C} = {C,A,B}. Bei einer Permutation zählt die Reihenfolge: ABC, BCA, CAB sind verschieden. Für dasselbe r ist P(n,r) stets C(n,r) × r!.
Dieses Werkzeug berechnet Standardkombinationen ohne Wiederholung. Für Kombinationen mit Wiederholung verwenden Sie C_R(n,r) = C(n+r−1, r) – geben Sie n+r−1 als neues n ein und behalten Sie r bei.
nCr (C(n,r)) ist die Kombination – r aus n ohne Reihenfolge wählen. nPr (P(n,r)) ist die Permutation – r aus n mit Reihenfolge anordnen. nCr = n!/(r!(n−r)!), nPr = n!/(n−r)!.
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