Kombinations- & Permutationsrechner
Berechnen Sie C(n,r) und P(n,r), vergleichen Sie Auswahl und Anordnung und kopieren Sie auch bei kompakter Anzeige die vollständige ganze Zahl.
r ≤ n erforderlich. Beide ganze Zahlen zwischen 0 und 170.
Schnellbeispiel
Aus zehn Personen drei für ein Team zu wählen ergibt C(10,3) = 120 Gruppen. Werden denselben drei Personen die Plätze eins bis drei zugeteilt, entstehen P(10,3) = 720 Anordnungen. Der Rechner stellt beide Werte gegenüber, damit die Auswirkung der Reihenfolge sofort sichtbar wird.
Zwei Entscheidungen stehen vor jeder Formel
- Erzeugt ein Tausch der ausgewählten Elemente ein neues Ergebnis?
- Darf dasselbe Element mehrmals vorkommen?
Nur die erste Frage trennt Kombination und Permutation. Die zweite entscheidet, ob die Standardformeln dieses Rechners überhaupt passen. Das Wort „auswählen“ reicht als Hinweis nicht aus: Ein Komitee ist ungeordnet, Ämter, Startplätze und Sitznummern sind geordnet.
Eine Gruppe ohne feste Plätze
Bei einer Kombination zählen nur die Mitglieder. Das Paar Lea und Omar bleibt dasselbe, wenn die Namen vertauscht werden. C(5,2) = 10 beschreibt daher zehn verschiedene Paare aus fünf Personen. Typische Aufgaben sind Kartenblätter, Lottoauswahlen und Ausschüsse.
Eine Anordnung mit Rollen
Bei einer Permutation zählt jede Reihenfolge. Vorsitz Lea und Stellvertretung Omar ist ein anderes Ergebnis als Vorsitz Omar und Stellvertretung Lea. P(5,2) = 20 zählt beide Zuordnungen getrennt. Ebenso gehören Zieleinläufe, Codes ohne Ziffernwiederholung und nummerierte Sitzplätze zu diesem Fall.
Fakultäten kürzen, bevor große Zahlen entstehen
Für ungeordnete Auswahlen gilt C(n,r) = n! / [r! × (n-r)!]. Geordnete Anordnungen verwenden P(n,r) = n! / (n-r)!. n bezeichnet den Vorrat, r die Anzahl der ausgewählten Elemente und ! die Fakultät. Weil jede Gruppe r! mögliche Reihenfolgen besitzt, folgt P(n,r) = C(n,r) × r!.
Bei n = 8 und r = 3 muss 8! nicht vollständig ausgeschrieben werden. In C(8,3) kürzt sich 5! heraus; übrig bleibt (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56. Für P(8,3) bleibt der Zähler 8 × 7 × 6 stehen, also 336.
Grenzwerte und lange Ausgaben
Beide Eingaben müssen ganze Zahlen von 0 bis 170 sein, wobei r höchstens n betragen darf. C(n,0), C(n,n) und P(n,0) ergeben jeweils 1. Dahinter steckt die eine leere Auswahl beziehungsweise die eine vollständige Auswahl, kein Fehler im Rechner.
Die Berechnung läuft mit BigInt und hält deshalb sämtliche Stellen der ganzen Zahl fest. Ab 31 Stellen verwendet die Karte eine gerundete wissenschaftliche Anzeige, damit das Ergebnis lesbar bleibt. Beim Kopieren und Teilen wird dagegen die vollständige Zahl ausgegeben.
Die Schnellbeispiele liefern feste Referenzwerte für Lotto und Poker und eignen sich deshalb gut für eine erste Plausibilitätskontrolle.
Wiederholungen sind in den angezeigten Standardwerten ausgeschlossen. Für eine ungeordnete Auswahl mit Wiederholung gilt C(n+r-1,r). Ein Code mit wiederholbaren Zeichen benötigt eine eigene Potenzregel; nPr wäre dort ebenfalls nicht der richtige Ansatz.
Häufig gestellte Fragen zum Kombinations- & Permutationsrechner
Eine Kombination passt, wenn nur die ausgewählten Elemente zählen und ihre Reihenfolge nichts ändert. Drei Personen aus zehn ergeben C(10,3) = 120 mögliche Gruppen.
Sobald Plätze, Rollen oder eine Reihenfolge vergeben werden. Gold, Silber und Bronze unter acht Personen werden deshalb mit P(8,3) gezählt.
Jede ungeordnete Gruppe kann intern auf r! Arten angeordnet werden. Die Kombination teilt diese Reihenfolgen heraus; die Permutation zählt sie einzeln. Daher gilt P(n,r) = C(n,r) × r!.
Ja. Die Berechnung verwendet BigInt. Nur die Bildschirmdarstellung wird ab 31 Stellen kompakt und gerundet; die Kopier- und Teilen-Ausgabe enthält weiterhin jede Stelle der exakten ganzen Zahl.
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