Potenzrechner
Geben Sie Basis und Exponent ein und berechnen Sie aⁿ, auch mit negativer oder gebrochener Hochzahl, samt wissenschaftlicher Notation und kurzer Erklärung.
Basis und Exponent können dezimal oder negativ sein.
Schnellbeispiel
Bei 2¹⁰ steht die 2 als Basis fest, während die 10 die Anzahl der Faktoren bestimmt. Das Ergebnis lautet 1.024. Mit -3 als Exponent wird aus derselben Basis der Kehrwert 1/2³ und damit 0,125. Der Potenzrechner zeigt beide Fälle zusätzlich in wissenschaftlicher Schreibweise an.
Was 3⁴ tatsächlich aussagt
Für eine positive ganze Hochzahl ist die Bedeutung unmittelbar: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Basis und Exponent dürfen nicht vertauscht werden, denn 4³ ergibt 64. Diese Lesart als wiederholte Multiplikation reicht bei null, negativen oder gebrochenen Hochzahlen allerdings nicht mehr aus.
Für a ≠ 0 gilt a⁰ = 1. Bei 0⁰ verwendet das Werkzeug den in der Kombinatorik üblichen Wert 1; in einer Grenzwertaufgabe muss derselbe Ausdruck gesondert geprüft werden. Auch die Klammer gehört zur Eingabe: -2² bedeutet -(2²) und ergibt -4, während (-2)² den Wert 4 hat.
Addieren ist kein Potenzgesetz
Aus 2² + 2³ wird nicht 2⁵. Die beiden Werte werden zuerst berechnet, also 4 + 8 = 12. Nur gleichartige Terme lassen sich über ihren Koeffizienten zusammenfassen: 3² + 3² = 2 × 3². Bei einer Differenz gilt dieselbe Trennung; 5³ - 5² kann als 5²(5 - 1) ausgeklammert werden.
Beim Multiplizieren gleicher Basen ist das Addieren der Exponenten dagegen korrekt: 2³ × 2⁴ = 2⁷. Eine Division gleicher Basen zieht die Hochzahlen voneinander ab, etwa 7⁵ / 7² = 7³. Sind nur die Exponenten gleich, darf 2³ × 5³ zu (2 × 5)³ zusammengefasst werden. Für 2³ × 3² existiert keine solche Abkürzung; 8 × 9 ergibt 72.
Kehrwert, Wurzel und negatives Vorzeichen
Eine negative Hochzahl bildet den Kehrwert: 10⁻³ = 1/10³ = 0,001. Ein gebrochener Exponent beschreibt eine Wurzel, zum Beispiel 81^0,5 = 9. Bei negativer Basis akzeptiert das Werkzeug nur ganze Exponenten. Bestimmte Brüche mit ungeradem Nenner können zwar reelle Ergebnisse besitzen, doch eine Dezimaleingabe bewahrt diesen Bruch nicht zuverlässig.
- (-2)³ = -8, weil die Hochzahl ungerade ist.
- (-2)⁴ = 16, weil das Minuszeichen paarweise verschwindet.
- 0⁻² ist wegen der Division durch null nicht definiert.
Wie genau das Ergebnis ist
Bei ganzzahliger Basis und nichtnegativer ganzer Hochzahl gibt der Rechner das vollständige ganzzahlige Ergebnis aus, solange es im Zahlenbereich des Browsers liegt. Dadurch bleibt etwa 2¹⁰⁰ mit allen Ziffern erhalten. Die rechte Ergebnisfläche zeigt dieselbe Größenordnung kompakt als Mantisse mal Zehnerpotenz.
Gebrochene Exponenten werden mit Gleitkommaarithmetik berechnet. Die letzten Dezimalstellen können deshalb gerundet sein und stellen keinen vollständig gekürzten Bruch oder exakten Wurzelausdruck dar. Überschreitet ein Ergebnis den verfügbaren Bereich, erscheint eine Meldung statt Unendlich. Werte unterhalb des Bereichs werden ebenfalls gemeldet, damit ein winziger Wert nicht fälschlich als echte Null gelesen wird.
Der Rechner verarbeitet Zahlen, keine Variablen. Ein Term wie x² + x³ bleibt daher eine Aufgabe für symbolische Algebra; für eine numerische Kontrolle setzen Sie zuerst einen konkreten Wert für x ein.
Häufig gestellte Fragen zum Potenzrechner
Bei einer positiven ganzen Hochzahl gibt sie an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. 2³ bedeutet 2 × 2 × 2 und ergibt 8.
Bei gleicher Basis werden sie während der Multiplikation addiert und während der Division subtrahiert. Für eine gewöhnliche Summe wie 2² + 2³ gilt diese Regel nicht.
Einige Brüche mit ungeradem Nenner haben ein reelles Ergebnis. Eine Dezimaleingabe erhält diesen Bruch jedoch nicht zuverlässig, deshalb beschränkt der Rechner negative Basen auf ganze Exponenten.
Nichtnegative ganzzahlige Potenzen ganzer Basen werden innerhalb des Zahlenbereichs exakt ausgegeben. Bei gebrochenen Hochzahlen können die letzten Stellen gerundet sein.
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